Интегральная формула Коши

Содержание

1 Формулировка
2 Доказательство
3 Следствия
4 Ссылки
5 Литература

Формулировка

Пусть — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция — голоморфна в и — точка внутри области . Тогда справедлива следующая формула Коши:

Формула справедлива также, если предполагать, что голоморфна внутри , и непрерывна на замыкании, а также если граница не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Доказательство

Рассмотрим окружность S_ρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z₀. В области, ограниченной контурами Γ и S_ρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от ρ имеем равенство:

Для расчёта интегралов по применим параметризацию .
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая :

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z_0)}{z-z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz$

Так как функция комплексно дифференцируема в точке , то:

Интеграл от равен нулю:

Интеграл от члена может быть сделан сколь угодно мал при . Но поскольку он от вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz - f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz = 0$

Следствия

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это — ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки из области, где функция голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке , в котором функция голоморфна, а коэффициенты могут быть вычислены по интегральным формулам:

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов функций, голоморфных в круге :

где — максимум модуля функции на окружности , а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

получается интегральное представление производных функции :

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области , если это семейство равномерно ограничено в . В сочетании с теоремой Арцела—Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области , можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция голоморфна в области вида , то в ней она представима суммой ряда Лорана:

причём коэффициенты могут быть вычислены по интегральным формулам:

а сам ряд Лорана сходится в к функции равномерно на каждом компакте из .

Формула для коэффициента часто применяется для вычисления интегралов от функции по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция голоморфна в круге , тогда для каждого

а также если — круг радиуса с центром в , тогда

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция голоморфна в области и внутри её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция голоморфна в области и внутри её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

лемма Шварца: если функция голоморфна в круге , и для всех точек из этого круга , тогда всюду в этом круге ,
теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке , совпадают в некоторой окрестности этой точки,
теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции , голоморфной в области имеют предельную точку внутри , тогда функция равна нулю всюду в .

Ссылки

Weisstein, Eric W. Интегральная формула Коши (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

Литература

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Interlandltd.ru

Лечебная медицина

Популярное