Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях:
если целая функция комплексных переменных ограничена, то есть
то есть константа.
Обобщения
- Если ― целая функция в , и для некоторого
- то есть многочлен по переменным степени не выше .
- Если ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве ,
- то есть гармонический многочлен по переменным.
История
Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 году Коши для случая . Лиувилль излагал его на лекциях в 1847 году, откуда и произошло название.
Доказательство (для одномерного случая)
Пусть функция , , ограничена на комплексной плоскости, то есть
Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной :
где — окружность радиуса , содержащая точку , или .
Имеем
Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем , а значит и, следовательно, является константой. Теорема доказана.
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976.