Теорема о вычетах явлется мощным инструментом для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Ее часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Теорема

Если аналитична в некоторой замкнутой односвязной области , за вычетом конечного числа особых точек , из которых ни одна не принадлежит граничному контуру , то справедлива следующая формула:

, где  — вычет в точке .

Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно продолжить интегрируемую функцию на комплексную плоскость и найти ее вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, использую основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав ее правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Пример

Интеграл

возникает в теории вероятностей при расчете характеристической функции распределения Коши и не поддается вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру , указанному на рисунке (). Интеграл равен

Так как  — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где . Т.к. , это возможно лишь при или . В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

Вычет в равен

Тогда, по основной теореме о вычетах:

Контур можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

Поэтому

Можно показать, что при :

Поэтому, если , то

Аналогичным образом, для дуги, обхватывающей точку вместо , можно показать, что при :

В итоге получаем:

(При интеграл вычислим обычными методами анализа и равен )

Внешние ссылки

• Residue theorem in MathWorld
• Residue Theorem Module by John H. Mathews

См. также

• Теорема Мореры
• Вычет