Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.
— пример нечётной функции.
Другие определения:
- Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
- Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
- Индифферентная функция[источник не указан 169 дней] — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.
Определения
Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.
- Функция называется чётной, если справедливо равенство
- Функция называется нечётной, если справедливо равенство
(или функцией общего вида).
Свойства
- График нечётной функции симметричен относительно начала координат .
- График чётной функции симметричен относительно оси ординат .
- Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
где
- Функция — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
- Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
- Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
- Произведение двух функций одной чётности чётно.
- Произведение двух функций разной чётности нечётно.
- Композиция двух нечётных функций нечётна.
- Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
- Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
- Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
- То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
- Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.
Примеры
Нечётные функции
Чётные функции
Вариации и обобщения