09-10-2023
В теории чисел, функция Мертенса определяется для всех натуральных чисел n формулой
где — функция Мёбиуса. Функция Мертенса названа в честь Франца Мертенса.
Другими словами, — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих n и содержащих четное число множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечетное число множителей. Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях n:
Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения , функция Мертенса изменяется медленно: для всех n верно, что . Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех n абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из n: . Однако, гипотеза Мертенса оказалась не верна, как показали в 1985 году Эндрю Одлызко (англ.) и Герман те Риеле (англ.). Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте , а именно . Поскольку наибольшие значения растут как минимум так же быстро, как и корень из n, это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса. Здесь, O обозначает O большое.
Определение выше может быть расширено на все действительные числа следующим образом:
Содержание |
Используя произведение Эйлера получаем, что
где - это Дзета-функция Римана, а произведение берется по всем простым p. Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, мы получаем:
где C - замкнутая кривая, окружающая все корни
Для обращения применяем преобразование Меллина
которое сохраняется при .
Следующее любопытное соотношение, содержащее вторую функцию Чебышева, было получено самим Мертенсом:
Хорошее приближение, как минимум асимптотическое, можно получить, используя метод перевала:
Предполагая, что существуют некратные нетривиальные корни мы получаем "точную формулу" по теореме вычетов:
Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближенному функционально-дифференциальному уравнению
где - функция Хэвисайда, - числа Бернулли, и все производные по t вычисляются при .
Титчмарш (1960) доказал следовую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме
где t в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а связаны преобразованием Фурье, так что
Другая формула для функции Мертенса
где - последовательность Фарея порядка n.
Эта формула испольуется в доказательстве теореме Франеля Ландау.[1]
равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка , в которой тогда и только тогда, когда или .
Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов n.
| Person | Year | Limit |
| Mertens | 1897 | 104 |
| von Sterneck | 1897 | 1.5·105 |
| von Sterneck | 1901 | 5·105 |
| von Sterneck | 1912 | 5·106 |
| Neubauer | 1963 | 108 |
| Cohen and Dress | 1979 | 7.8·109 |
| Dress | 1993 | 1012 |
| Lioen and van de Lune | 1994 | 1013 |
| Kotnik and van de Lune | 2003 | 1014 |
Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих N, может быть вычислена за время . Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение за время .
Функция Мертенса.