Теорема Хана

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном продолжении линейного функционала.

Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты:

Любой линейный функционал , определённый на подпространстве линейного пространства и удовлетворяющий условию

где — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве ) то может быть продолжен на все пространство с сохранением этого условия.

Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала:

Всякий линейный ограниченный функционал , определённый на линейном многообразии линейного нормированного пространства , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.

Доказательство

Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть . Рассмотрим линейное пространство вида:

Продолжение на запишем:

где — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных и выполняется:

Отсюда

Как следствие

$\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.$

Определим так

$\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \leqslant \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.$

Выполняется равенство

Определим

Для всех и произвольных выполняется неравенство:

поэтому

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

См. также

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Ссылки

Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996.

Interlandltd.ru

Лечебная медицина

Популярное

Теорема Хана — Банаха

Доказательство

См. также

Ссылки