Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. В математике, свёртка — это математическая операция двух функций f и g, порождающая третью функцию, которая обычно может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.

Свёртка функций

Пусть  — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве . Тогда их свёрткой называется функция , определенная формулой

В частности, при формула принимает вид:

Свёртка определена при почти всех и интегрируема.

Свойства

• Коммутативность:

.

• Ассоциативность:

.

• Линейность (дистрибутивность и умножение на число):

.

• Правило дифференцирования:

,

где обозначает производную функции по любой переменной.

• Свойство Фурье-образа:

,

где обозначает преобразование Фурье функции .

Свёртка на группах

Пусть  — группа Ли, оснащённая мерой Хаара , и  — две функции, определённые на . Тогда их свёрткой называется функция

.

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство и две меры . Тогда их свёрткой называется мера

,

где обозначает произведение мер и .

Свойства

• Пусть абсолютно непрерывны относительно меры Лебега . Обозначим их производные Радона — Никодима:

.

Тогда также абсолютно непрерывна относительно , и её производная Радона — Никодима имеет вид

.

• Если  — вероятностные меры, то также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений

Если  — распределения двух независимых случайных величин и , то

,

где  — распределение суммы . В частности, если абсолютно непрерывны и имеют плотности , то случайная величина также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

.

Пример программы

Ниже приведен пример свертки, написанный на C++ :

/*
 * Размер выходной последовательности равен M + N - 1 
 */
double * conv(double * x, int N, double * h, int M)
{
    double * result = new double[N + M - 1];
    memset(result, 0, sizeof(double) * (N + M - 1));
 
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < M; ++j)
        {
            result[i + j] += x[i] * h[j];
        }
    }
 
    return result;
}

См. также

• Автокорреляционная функция
• Преобразование Фурье
• Свёртка последовательностей

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet

• Линейная и циклическая свертка  (рус.). Архивировано из первоисточника 26 августа 2011. Проверено 15 ноября 2010.