17-04-2023
Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года[1].
Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.
Содержание |
Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.
Пусть функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции называется функция
Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору и проходящей на расстоянии s (измеренного вдоль вектора , с соответствующим знаком) от начала координат.
Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции
Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой перпендикулярной вектору , и изменяется наиболее быстро если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим , мы выберем новые переменные . Сделав замену переменных в интеграле, получаем
т.е.
Таким образом, одномерное преобразование Фурье по переменной s от преобразования Радона функции даёт нам двумерное преобразование Фурье от функции . Поскольку двумерное преобразование Фурье достаточно хорошей функции обратимо, то обратимо и преобразование Радона.
Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом
Для наших целей удобно переписать эту формулу в полярных координатах
что немедленно даёт формулу обращения преобразования Радона
где .
В компьютерной томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна , где оптическая плотность объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от оптической плотности. Вращая всю систему из источника излучения и детекторов вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показаной на рисунке, получают достаточно полную информацию о преобразовании Радона оптической плотности в данном срезе объекта. Используя обратное преобразование Радона можно восстановить поглощение излучения в любой точке данной плоскости объекта.
Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:
Здесь мы обозначили — радиус-вектор из начала координат, — двумерный элемент объёма, — единичный вектор, который можно параметризовать как . С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.
Формула (2) тривиально обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под , и понимать соответственно N-мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в N-мерном пространстве и N-мерный единичный вектор. В принципе, вектор можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация .
Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости перпендикулярной вектору и проходящей на расстоянии s от начала координат (взятом со знаком минус если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором ).
В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Покажем это.
Рассмотрим преобразование Фурье от по переменной s, то есть
Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим
Заметим теперь, что есть интеграл по всему N-мерному пространству (здесь под интегралом подразумевается интеграл по N-1 мерной сфере, в частности, для N=2 , для N=3 ). Из этого следует, что
Используя это представление векторной дельта-функции получаем формулу обращения
Преобразование Радона.