В математике и информатике под переписыванием подразумевают широкий спектр техник, методов и теоретических результатов связанных с процедурами последовательной замены частей формул или термов формального языка по заданной схеме — системе переписывающих правил.

Основные понятия и примеры

Основные свойства систем переписывания можно сформулировать не прибегая к конкретной реализации их в виде операций над термами. Для этого часто используется понятие Абстрактной Системы Редукций или ARS (от англ. Abstract Reduction Systems). ARS состоит из некоторого множества A и набора бинарных отношений , на нём, которые называются редукциями. Говорят, что a редуцируется, или переписывается в b в один шаг относительно данной ARS, если пара (a,b) принадлежит некоторому . Важнейшими свойствами редукционных систем являются:

• Конфлюентность  — если a может за некоторое число шагов редуцироваться как в b так и в c, то существует элемент d, в который могут редуцироваться оба b и c.
• Остановочность — любая цепочка одношаговых редукций всегда конечна, то есть достигается элемент, который не может больше быть редуцирован.
• Локальная (или слабая) конфлюентность — то же, что и конфлюентность, но при условии, что a переписывается в b и c ровно за один шаг.
• Слабая остановочность — для каждого элемента существует, обрывающаяся цепочка его последовательных редукций.
• Каноничность или свойство Чёрча-Россера — конфлюентность плюс остановочность.

Очевидно, конфлюентность влечёт слабую конфлюенцию, а остановочность, соответственно, слабую остановочность. Однако, конфлюентность и остановочность между собой не связаны. Например, система, состоящая из одного правила a•b → b•a конфлюентна, но не остановочна. Система, состоящая из двух правил a → b и a → c остановочна, но не конфлюентна, а все три правила вместе образуют систему, которая и не остановочна и не конфлюентна.

Остановочность редукционной системы позволяет сопоставить каждому элементу его нормальную форму — элемент, в который его можно редуцировать, но который сам уже больше не редуцируется. Если вдобавок соблюдается конфлюентность, то такая нормальная форма всегда будет единственной, или канонической. В связи с этим, особо ценным является свойство Чёрча-Россера, так как позволяет быстро и эффективно решать проблему равенства двух элементов a и b относительно системы равенств, соответствующей множеству редукций без учёта направления. Для этого достаточно вычислить нормальные формы обоих элементов. Поскольку в этом случае нормальная форма будет также канонической, элементы будут равны, если и только если результаты совпадут.

Классическая теория переписывания

Несмотря на то, что изначально понятие переписывания было введено для лямбда-исчисления, основной массив результатов и приложений в настоящее время касается переписывания первого порядка. Переписывающие системы такого рода называют Системами Переписывания Термов или TRS (от англ. Term rewriting systems).

Переписывание высших порядков

Стратегии

Обобщения

Приложения

См. также

• Алгоритм Кнута-Бендикса
• Лямбда-исчисление
• L-системы

Примечания

• Nachum Dershowitz and Jean-Pierre Jouannaud. Rewrite Systems (1990). Chapter 6 of Handbook of Theoretical Computer Science, Volume B: Formal Models and Sematics (B), pp.243—320.
• Term Rewriting Systems, Terese, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 2003
• Term Rewriting and All That, Franz Baader and Tobias Nipkow, Cambridge University Press, 1998