Матрица перехода

У этого термина существуют и другие значения, см. Цепи_Маркова#Переходная матрица и однородные цепи.

Ма́трицей перехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .

Обозначается

Содержание

1 Представление
2 Использование
- 2.1 Пример
3 Свойства
4 Пример поиска матрицы
5 См. также
6 Ссылки

Представление

Так как

Матрица перехода это

Использование

При умножении столбца, составленного из коэффициентов разложения вектора по базису , на матрицу, обратную к матрице перехода, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис .

Из-за того, что уменьшает объём работы при переводе векторов аффинных пространств и в пространстве столбцов в другие базисы, используется в трёхмерном моделировании.

Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Матрицы наиболее распространённых преобразований
	В двумерных координатах	В однородных двумерных координатах	В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование При a, b и c - коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:	$\begin{bmatrix} a&0 \\ 0&b\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} a&0&0 \\ 0&b&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} a&0&0&0 \\ 0&b&0&0 \\ 0&0&c&0 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix}$
Поворот При φ - угол поворота изображения в двухмерном пространстве	По часовой стрелке $\begin{bmatrix} \cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	Относительно OX на угол φ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi&\sin\phi& 0 \\ 0 &-\sin\phi&\cos\phi& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	Относительно OY на угол ψ $\begin{bmatrix} \cos\psi& 0 &\sin\psi& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\psi& 0 &\cos\psi& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
	Против часовой стрелки $\begin{bmatrix} \cos \phi &-\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}$		Относительно OZ на угол χ $\begin{bmatrix} \cos \chi &\sin \chi & 0 & 0 \\ -\sin \chi &\cos \chi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Перемещение При a, b и c - смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.	В неоднородных координатах не имеет матричного представления.	$\begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$