10-09-2023
Логистическое уравнение, также известное, как уравнение Ферхюльста (по имени впервые сформулировавшего его бельгийского математика), изначально появилось при рассмотрении модели роста численности населения.
Исходные предположения для вывода уравнения при рассмотрении популяционной динамики выглядят следующим образом:
Обозначая через численность популяции (в экологии часто используется обозначение ), а время — , модель сводится к дифференциальному уравнению:
где параметр характеризует скорость роста (размножения), а — ёмкость среды (то есть, максимально возможную численность популяции). Исходя из названия коэффициентов, в экологии часто различают[уточнить] две стратегии поведения видов:
Точным решением уравнения (где — начальная численность популяции) является логистическая функция, S-образная кривая, (логистическая кривая):
где
Ясно, что в ситуации «достаточного объёма ресурсов», то есть пока P(t) много меньше K, логистическая функция поначалу растёт приблизительно экспоненциально:
Аналогично, при «исчерпании ресурсов» (t → ∞) разность экспоненциально убывает с таким же показателем.
Почему Ферхюльст назвал уравнение логистическим, остается неизвестным. В 1924 году Раймонд Перл применил уравнение для описания автокаталитических реакций.
Дискретным аналогом логистического уравнения является логистическое отображение.
Логистическое уравнение.
