В теории групп лемма Бёрнсайда связывает количество орбит в подгруппе симметрической группы с цикловой структурой элементов этой подгруппы. Существует несколько вариантов леммы: упрощенный, весовой, ограниченный и т. д. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойа.

Упрощенный вид

Пусть  — конечная группа, действующая на множестве . Для любого элемента из будем обозначать через множество элементов , оставляемых на месте . Лемма Бёрнсайда даёт формулу числа орбит группы , обозначаемого :

Число орбит (натуральное число или бесконечность) равно среднему количеству точек, оставляемых на месте элементом из .

Доказательство

Доказательство основано на подсчёте числа элементов одного множества двумя способами:

Весовой вид

где  — вес орбиты (вес любого её представителя),  — вес элемента.

История открытия

Уильям Бёрнсайд сформулировал и доказал эту лемму (без указания авторства) в одной из своих книг (1897 год), но историки математики обнаружили, что он не был первым, кто открыл её. Коши в 1845 году и Фробениусу в 1887 году также была известна эта формула. По-видимому, лемма была столь хорошо известна, что Бёрнсайд просто опустил указание авторства Коши. Поэтому эта лемма иногда называется леммой не Бёрнсайда. Это название не столь туманно, как кажется: работа Бернсайда была столь плодотворной, что большинство лемм в этой области принадлежит ему.

Литература

• Burnside, William Theory of groups of finite order. — Cambridge University Press, 1897.