Ковариантность и контравариантность

Ковариантность и контравариантность — математическое и физическое понятие, которое описывает то, как величины изменяются при преобразовании системы координат. Координаты геометрического вектора измеряются в какой-нибудь конкретной системе координат. Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в метрических пространствах, то есть в пространствах, где задан метрический тензор.

Содержание

1 Основные сведения
2 Введение
3 Определение
- 3.1 Контравариантные преобразования
- 3.2 Ковариантные преобразования
4 Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой
- 4.1 Соответствие между векторами и ковекторами
- 4.2 Различие между векторами и ковекторами
5 Алгебра и геометрия
6 Программирование
7 Примечания
8 См. также
9 Литература

Основные сведения

Контравариантные координаты тензора принято записывать с верхним индексом, в отличие от записи с нижним индексом для ковариантных координат тензора.

Образец контравариантного вектора — это вектор смещения, записанный в виде набора приращений координат: .

Любой набор чисел, преобразующийся при любой замене координат так же, как (новый набор через ту же матрицу выражаются через старый), представляет контравариантный вектор.

Следует заметить, что, если определён невырожденный метрический тензор, то «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать об ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

$\ v_i = g_{ij} v^j$

$\ v^i = g^{ij} v_j$

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Содержательно же вектора и ковектора различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов естественно разложение по дуальному базису, как например для градиента, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов, таких как dx ⁱ — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр — получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора , являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором , являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; тогда как сам с собой свёртывается с помощью метрики: , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантный вектор (1-форма), что же с участием метрики — это контравариантный вектор. Если же пространство и координаты настолько абстрактны и замечательны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для 1-формы же — ковариантное.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта — 1-формы или обычного вектора, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Ковариантные координаты любого объекта принято записывать с нижним индексом, а также — в матричных обозначениях — в виде вектора-строки (в отличие от записи с верхним индексом и вектора-столбца для контравариантных координат, естественных для представления контравариантного вектора).

Как видим, формально это определение описывает ковариантное представление, но содержательно описывает в качестве образца ковариантного вектора ковектор — 1-форму — градиент скаляра — для которой (как и для остальных 1-форм) именно это представление естественно^[1].

Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов.

Введение

В физике вектор обычно возникает в результате измерения или серии измерений и представляется в виде списка чисел

Этот список зависит от выбора системы координат. К примеру, если вектор представляет положение по отношению к наблюдателю, то часто система координат — это точка отсчёта и три взаимно ортогональные прямые, вдоль них измеряются компоненты радиус-вектора v₁, v₂, и v₃.

Определение

Общее определение ковариантности и контравариантности исходит из того, как компоненты объектов преобразуются при изменении базиса. Пусть V — векторное пространство размерности n над полем скаляров S, и пусть каждый из f = (X₁,…,X_n) и f' = (Y₁,…,Y_n) — базис V. Также, пусть изменение базиса из f в f′ даётся

(1)

для некоторой обратимой n×n матрицы A с величинами . Здесь, каждый вектор Y_j из f' базисов — это линейная комбинация векторов X_i из f базиса, поэтому

Контравариантные преобразования

Вектор v в V представляется единственным образом как линейная комбинация элементов f базиса как

, (2)

где vⁱ[f] — это скаляры из S известные как компоненты v в f базисе. Обозначают вектор столбец компонентов v как v[f]:

поэтому (2) может быть переписано как произведение матриц

Вектор v может также быть выражен в виде f' базиса, поэтому

Однако, так как вектор v сам инвариантен при изменении базиса,

Инвариантность v комбинирует с отношением (1) между f и f' обеспечивает

что дает правило преобразования

В виде компонент,

где коэффициенты есть величины обратной матрицы кA.

Потому, что компоненты вектора v преобразуются обратно к матрице A, про эти компоненты говорят, что они преобразуются контравариантно при преобразовании базиса.

Ковариантные преобразования

Линейный функционал α на V представляется единственным образом в виде s компонент (скаляров в S) в f базисе как

Эти компоненты есть действие α на базисные вектора X_i f базиса.

При изменении базиса из f в f' (1), компоненты преобразуются как

$\begin{array} {rcl} \alpha_i[\mathbf{f}A] & = & \alpha(Y_i) \\ & = & \alpha\left(\sum_j a^j_i X_j\right) \\ & = & \sum_j a^j_i \alpha(X_j) \\ & = & \sum_j a^j_i \alpha_j[\mathbf{f}] \end{array}$ . (3)

поэтому (Шаблон:EquationNote) может быть переписано как произведение матриц

Поскольку компоненты линейного функционала α преобразуются с матрицей преобразования A, говорят, что эти компоненты преобразуются ковариантно при изменении базиса.

Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют) задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторами

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

$\ v_i = g_{ij} v^j$

$\ v^i = g^{ij} v_j$

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторами

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов, например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам ) — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора , являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором , являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой свёртывается с помощью метрики: , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности — контравариантности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковектора, в противном случае (свёртка требует участия метрики) — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Алгебра и геометрия

В теории категорий, функторы могут быть ковариантными и контравариантными. Сопряжённое пространство векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры есть смешаными, и не есть функторами.

В геометрии то же самое отображение различается в или из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию M это класс эквивалентности кривых M проходящих через данную точку P. Поэтому он контравариантен, относительно гладкого отображения M. Ковариантный вектор, или ковектор, таким же способом конструируется из гладкого отображения из M на вещественную ось, около P. В кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения.

Ковариантные и контравариантные компоненты преобразуются разными способами при преобразованиях координат. При рассмотрении координатных преобразований на многообразии как отображения многообразия в себя.

Программирование

См. Ковариантность и контравариантность (информатика)

Примечания

↑ Естественность ковариантного представления 1-формы градиента означает, что ее естественное представление — набор частных производных — дает в скалярном произведении с контравариантным вектором инвариант — полный дифференциал функции ф, конечно же, инвариантный (в последней формуле подразумевается суммирование по индексу i по правилу Эйнштейна).

См. также

Метрический тензор

Литература

Sternberg, Shlomo (1983), Lectures on differential geometry, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .

Interlandltd.ru

Лечебная медицина

Популярное