Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов. Элементы многих бесконечных групп, встречающихся в физике, нумеруются вещественными параметрами, изменяющимися непрерывно. Каждый элемент g n-параметрической бесконечной группы можно записать в виде: , где  — n вещественных чисел. Для бесконечной группы отсутствует таблица Кэли. Если , то n параметров являются функциями от параметров . Таким образом, аналогом таблицы Кэли для бесконечной группы является набор из n вещественных функций, каждая из которых зависит от 2n вещественных переменных . Элементы бесконечной группы должны удовлетворять четырём обычным условиям принадлежности к группе:

1. Произведение любых двух элементов группы должно быть элементом группы.
2. Умножение элементов ассоциативно: .
3. Имеется единичный элемент группы g(1), так что для всех g(x) выполняется
4. Каждый элемент имеет единственный обратный, те для каждого g(x) имеется единственный элемент группы , такой что .

Из требования (2), выраженного через функции f(x, y), следует, что равенство выполняется для всех x, y, z.

Примеры бесконечных групп

• Группа Ли. Элементы группы Ли представлены непрерывными и обладающими производными всех порядков функциями , удовлетворяющими обычным условиям принадлежности к группе.
• Специальная унитарная группа . Группа имеет параметр.
• Группа всех вещественных ортогональных матриц . Группа имеет параметров.

См. также

• Конечная группа
• Группа Ли
• Специальная унитарная группа
• Ортогональная матрица

Литература

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. — Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.